Площади фигур и теорема Пифагора
Площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции считаются через основание и высоту, а теорема Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника.
Прямоугольник: S = a·b. Квадрат: S = a². Параллелограмм: S = a·h, где h — высота к стороне a. Треугольник: S = ½·a·h. Прямоугольный треугольник: S = ½·a·b по катетам. Трапеция: S = ½·(a + b)·h. Все площади в см², длины в см.
Сводка формул площадей
| Фигура | Формула | Что подставлять |
|---|---|---|
| Прямоугольник | S = a·b | две соседние стороны в см |
| Квадрат | S = a² | сторона в см |
| Параллелограмм | S = a·h | сторона и высота к ней |
| Треугольник | S = ½·a·h | основание и высота к нему |
| Прямоугольный треугольник | S = ½·a·b | два катета |
| Трапеция | S = ½·(a + b)·h | оба основания и высота |
Равные фигуры имеют равные площади. Если фигура составлена из нескольких частей, её площадь равна сумме площадей этих частей. Площадь квадрата со стороной 1 см равна 1 см². Диагональ параллелограмма делит его на два треугольника равной площади.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты в см. Отсюда c = √(a² + b²) и a = √(c² − b²). Часто встречающиеся тройки: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17, 9-12-15.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный, и прямой угол лежит против этой большей стороны.
Условие: в равнобедренной трапеции основания равны 20 см и 8 см, боковая сторона 10 см. Найти высоту и площадь. Решение: опустим две высоты из вершин меньшего основания. Проекция боковой стороны равна (20 − 8) : 2 = 12 : 2 = 6 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см и катетом 6 см: h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, значит h = 8 см. Площадь: S = ½·(20 + 8)·8 = ½·28·8 = 14·8 = 112 см². Ответ: h = 8 см, S = 112 см².
В формулу S = a·h подставляют боковую сторону параллелограмма вместо высоты. Высота — это перпендикуляр к стороне, взятой за основание, и она всегда не больше боковой стороны. Вторая ошибка — применять теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику или назначать гипотенузой не самую большую сторону. Гипотенуза всегда лежит против прямого угла и является наибольшей стороной.
- ✓Высота проведена к той стороне, которая взята за основание
- ✓В формуле треугольника и трапеции не потерян множитель ½
- ✓Гипотенуза в теореме Пифагора — наибольшая сторона
- ✓Проверено, что треугольник действительно прямоугольный
- ✓Площадь записана в см², длины в см