Координаты, векторы и задачи на клетчатой бумаге
Координатный метод и векторы как универсальный способ закрыть задания 15-19 ОГЭ и обосновать доказательство в заданиях 24-26.
Координаты превращают геометрию в арифметику: параллельность, перпендикулярность и равенство длин проверяются формулами, а не рассуждениями на чертеже. На клетчатой бумаге система координат уже нарисована — этим нужно пользоваться.
Расстояние между точками A(x1; y1) и B(x2; y2): AB = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²). Середина отрезка: M((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2). Координаты вектора AB = (x2 − x1; y2 − y1). Длина вектора a(x; y): |a| = √(x² + y²). Уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом R: (x − a)² + (y − b)² = R².
Сложение и вычитание векторов выполняются покоординатно, умножение на число — умножением каждой координаты. Векторы коллинеарны (лежат на параллельных прямых), если их координаты пропорциональны: x1·y2 − x2·y1 = 0. Скалярное произведение векторов a(x1; y1) и b(x2; y2) равно x1·x2 + y1·y2, а также |a|·|b|·cos φ. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Приёмы для клетчатой бумаги
- Ввести систему координат с началом в удобном узле — все вершины получат целые координаты.
- Длину наклонного отрезка искать по теореме Пифагора через катеты-клетки.
- Высоту треугольника удобнее считать как S · 2 / a, а не строить её на чертеже.
- Тангенс острого угла наклонного отрезка равен отношению вертикальных клеток к горизонтальным.
- Синус угла между наклонными сторонами удобно получать через площадь: sin γ = 2S/(a·b).
- Площадь любого многоугольника с вершинами в узлах — по формуле Пика: S = В + Г/2 − 1.
Что чем проверяется в координатах
| Геометрическое утверждение | Координатная проверка |
|---|---|
| Точка M — середина отрезка AB | координаты M равны полусуммам координат A и B |
| Прямые AB и CD параллельны | векторы AB и CD коллинеарны: x1·y2 − x2·y1 = 0 |
| Прямые AB и CD перпендикулярны | скалярное произведение векторов равно нулю |
| Четырёхугольник — параллелограмм | вектор AB равен вектору DC |
| Треугольник равнобедренный | равны длины двух сторон, посчитанные по формуле расстояния |
Условие. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A(0; 0), B(4; 0) и C(4; 3). Найдите тангенс угла A треугольника ABC. Решение. 1) Угол B прямой, так как AB лежит на горизонтальной линии сетки, а BC — на вертикальной. 2) В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла A равен отношению противолежащего катета BC к прилежащему катету AB. 3) BC = 3, AB = 4, значит tg A = 3/4 = 0,75. Ответ: 0,75.
Условие. Дан четырёхугольник ABCD, где A(0; 0), B(4; 1), C(6; 5), D(2; 4). Докажите, что ABCD — параллелограмм. Решение. 1) Найдём координаты векторов: AB = (4 − 0; 1 − 0) = (4; 1) и DC = (6 − 2; 5 − 4) = (4; 1). 2) Векторы AB и DC равны, так как равны их соответствующие координаты. 3) Из равенства векторов следует, что отрезки AB и DC равны по длине и параллельны. 4) По признаку параллелограмма (две противоположные стороны равны и параллельны) четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Первое: координаты вектора считают как сумму координат точек, а не как разность «конец минус начало». Второе: из равенства длин делают вывод о параллелограмме, не проверив параллельность, — признак назван неверно, балл снимается. Третье: в задании 26 переходят к координатам, но не оговаривают, что система координат введена, и не указывают координаты всех точек — оформление считается неполным. Четвёртое: на клетчатой бумаге считают клетки, а не единицы длины, и получают ответ вдвое меньше. Пятое: тангенс путают с отношением катета к гипотенузе.
- ✓Система координат введена явно и описана словами.
- ✓Координаты всех использованных точек выписаны.
- ✓Вектор считается как разность координат конца и начала.
- ✓Параллельность проверена через коллинеарность, перпендикулярность — через скалярное произведение.
- ✓Вывод сформулирован через признак или определение, а не через «видно из чертежа».
- ✓Ответ соответствует прикидке по рисунку.