Квадратные корни: свойства и функция y = √x

√a — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Существует только при a ≥ 0. Ключевое: √a ≥ 0 всегда, поэтому √25 = 5, а не ±5. Знак ± появляется лишь при решении уравнения x² = 25.

(√a)² = a при a ≥ 0; √(a²) = |a| при любом a; √(ab) = √a·√b при a ≥ 0, b ≥ 0; √(a/b) = √a/√b при a ≥ 0, b > 0. Вынесение множителя: √(a²b) = |a|·√b. Внесение: a√b = √(a²b) при a ≥ 0.

Упростить √72 + √50 − √18. Раскладываем: 72 = 36·2, 50 = 25·2, 18 = 9·2. Тогда √72 = 6√2, √50 = 5√2, √18 = 3√2. Получаем 6√2 + 5√2 − 3√2 = 8√2. Численная проверка: √72 ≈ 8,485, √50 ≈ 7,071, √18 ≈ 4,243; сумма ≈ 11,313, а 8√2 ≈ 11,314.

Упростить 6/(√5 − √2). Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое √5 + √2: знаменатель даёт (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3. Получаем 6(√5 + √2)/3 = 2(√5 + √2) = 2√5 + 2√2. Проверка: √5 − √2 ≈ 0,854, 6/0,854 ≈ 7,03; 2√5 + 2√2 ≈ 4,472 + 2,828 ≈ 7,30 — при точных вычислениях значения совпадают (6/0,8218 ≈ 7,30).

√(a²) = |a|, а не a. Например √((−7)²) = √49 = 7, а не −7. Если в задании стоит √(x²) и известно, что x < 0, ответ равен −x. Вторая ловушка: √(a + b) пытаются «разложить» на √a + √b — так делать нельзя, свойство работает только для произведения и частного.