Числовые неравенства, промежутки и системы неравенств
Свойства числовых неравенств, решение линейных неравенств, запись промежутков и пересечение решений системы.
К обеим частям можно прибавить одно и то же число — знак сохраняется. Обе части можно умножить или разделить на положительное число — знак сохраняется. При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный. Неравенства одного знака можно складывать почленно.
x > a → (a; +∞); x ≥ a → [a; +∞); x < b → (−∞; b); x ≤ b → (−∞; b]; a < x < b → (a; b); a ≤ x ≤ b → [a; b]. Круглая скобка — точка выколота (строгое неравенство), квадратная — включена.
Решить −4x + 6 ≥ 18. Переносим: −4x ≥ 12. Делим обе части на −4 и МЕНЯЕМ знак: x ≤ −3. Ответ: (−∞; −3]. Проверка: x = −5 подходит, ведь 20 + 6 = 26 ≥ 18; x = 0 не подходит: 6 ≥ 18 неверно.
Решить систему: 2x − 1 > 3 и 5 − x ≥ 0. Первое: 2x > 4, x > 2, промежуток (2; +∞). Второе: −x ≥ −5, умножаем на −1 со сменой знака: x ≤ 5, промежуток (−∞; 5]. Пересечение: 2 < x ≤ 5, то есть (2; 5]. Проверка: x = 3 подходит обоим (5 > 3 и 2 ≥ 0), x = 2 не подходит первому, x = 6 не подходит второму.
- ·Оба условия одновременно
- ·Берём пересечение
- ·x > 2 и x ≤ 5 → (2; 5]
- ·Может быть пустое множество
- ·Хотя бы одно условие
- ·Берём объединение
- ·x < 0 или x > 3 → (−∞;0)∪(3;+∞)
- ·Пустой не бывает, если есть решения
Знак и штриховка
| Неравенство | Точка | Направление | Промежуток |
|---|---|---|---|
| x > 3 | выколота | вправо | (3; +∞) |
| x ≥ 3 | закрашена | вправо | [3; +∞) |
| x < −1 | выколота | влево | (−∞; −1) |
| x ≤ −1 | закрашена | влево | (−∞; −1] |
Деление на отрицательный коэффициент без переворота знака — ошибка номер один: из −4x ≥ 12 получают x ≥ −3 вместо x ≤ −3. Второй капкан: пустое множество считают ошибкой. Если система даёт x > 5 и x < 2, ответ корректен — решений нет. Третий: путают скобки, записывая [3; +∞] — у бесконечности всегда круглая скобка.
Оценка выражений
- Если 2 < a < 5 и 1 < b < 3, то 3 < a + b < 8 (складываем почленно)
- Для a − b оценку берут через a + (−b): −3 < −b < −1, значит −1 < a − b < 4
- Для произведения положительных: 2 < ab < 15
- Умножение на отрицательное разворачивает всю цепочку неравенств
- ✓При делении на отрицательное число знак перевёрнут
- ✓Точка выколота при строгом знаке и закрашена при нестрогом
- ✓Промежуток записан с правильными скобками, у ∞ — круглая
- ✓Для системы взято пересечение, а не объединение
- ✓Ответ проверен подстановкой числа из промежутка