Квадратные уравнения: дискриминант и теорема Виета

Квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b, c — первый коэффициент, второй коэффициент и свободный член. Уравнение называют приведённым, если a = 1.

D = b² − 4ac. Если D > 0, то x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a) — два корня. Если D = 0, то x = −b/(2a) — один корень. Если D < 0 — действительных корней нет. Теорема Виета для приведённого x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p, x₁·x₂ = q.

Решить 2x² − 7x + 3 = 0. Здесь a = 2, b = −7, c = 3. D = (−7)² − 4·2·3 = 49 − 24 = 25, √D = 5. Тогда x₁ = (7 + 5)/4 = 3, x₂ = (7 − 5)/4 = 0,5. Проверка по Виета: сумма 3 + 0,5 = 3,5 = 7/2 = −b/a; произведение 3·0,5 = 1,5 = 3/2 = c/a — верно.

1) 3x² − 12x = 0: выносим x(3x − 12) = 0, корни x = 0 и x = 4 — дискриминант не нужен. 2) 2x² − 18 = 0: x² = 9, x = ±3. 3) x² + 16 = 0: x² = −16, корней нет. 4) 5x² = 0: единственный корень x = 0.

Решить x² − 9x + 20 = 0. Ищем два числа с суммой 9 и произведением 20: это 4 и 5. Значит x₁ = 4, x₂ = 5. Контроль дискриминантом: D = 81 − 80 = 1, x = (9 ± 1)/2 — те же 5 и 4. Устный способ быстрее, если коэффициенты целые и небольшие.

При b = −7 в формуле стоит −b = +7; знак минус теряют постоянно. Второй капкан: делят на 2a только √D, забывая про −b — на 2a делится вся сумма. Третий: при вычислении D для отрицательного c получают 4ac со знаком минус, и D = b² − 4ac становится сложением: у 2x² + 3x − 5 = 0 D = 9 + 40 = 49.