Многогранники: призма, пирамида, площади поверхностей и объёмы
Полный набор формул для призмы и пирамиды и приёмы, позволяющие решать задания 1 и 8 ЕГЭ без построения сложных чертежей.
Стереометрия с кратким ответом (задания 1 и 8 профильного ЕГЭ) проверяет две вещи: знание формул объёма и площади поверхности и умение увидеть прямоугольный треугольник внутри многогранника. Ошибки здесь почти всегда вычислительные, а не идейные.
Объёмы и площади поверхностей
| Тело | Объём | Площадь боковой поверхности |
|---|---|---|
| Призма | V = S(осн) · h | S = P(осн) · l для прямой призмы |
| Прямоугольный параллелепипед | V = a·b·c | S(полн) = 2(ab + bc + ac) |
| Куб с ребром a | V = a³ | S(полн) = 6a², диагональ a√3 |
| Пирамида | V = ⅓ · S(осн) · h | S = ½ · P(осн) · m для правильной, m — апофема |
| Усечённая пирамида | V = ⅓h(S1 + S2 + √(S1·S2)) | сумма площадей боковых трапеций |
Пусть a — сторона основания, h — высота, m — апофема, b — боковое ребро, r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей основания. Тогда m² = h² + r², b² = h² + R². Для квадрата со стороной a: r = a/2, R = a√2/2. Для правильного треугольника со стороной a: r = a/(2√3), R = a/√3.
При подобии пространственных фигур с коэффициентом k линейные размеры относятся как k, площади — как k², объёмы — как k³. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, отсекаемая пирамида подобна исходной. Объём тела не зависит от того, наклонная призма или прямая, — важна только площадь основания и высота, измеренная перпендикулярно основанию.
Что нужно уметь считать без подсказок
- Диагональ прямоугольного параллелепипеда: d² = a² + b² + c².
- Площадь правильного треугольника со стороной a: S = a²√3/4.
- Площадь правильного шестиугольника: S = 3a²√3/2, он состоит из шести правильных треугольников.
- Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения: V = S(перп) · l.
- Объём тетраэдра с ребром a: V = a³√2/12.
Условие. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно √22. Найдите объём пирамиды. Решение. 1) Основание — квадрат со стороной 6, значит S(осн) = 36. 2) Диагональ квадрата равна 6√2, половина диагонали AO = 3√2. 3) Высота SO пирамиды перпендикулярна основанию, треугольник SOA прямоугольный: SO² = SA² − AO² = 22 − (3√2)² = 22 − 18 = 4, значит SO = 2. 4) V = ⅓ · S(осн) · h = ⅓ · 36 · 2 = 24. Ответ: 24.
Первое: за высоту пирамиды принимают боковое ребро или апофему — объём получается завышенным. Второе: в правильной треугольной пирамиде высота падает не в середину стороны, а в центр основания, который делит медиану в отношении 2:1, — это забывают и берут неверный радиус. Третье: множитель ⅓ теряется при переходе от призмы к пирамиде. Четвёртое: в задании на площадь поверхности считают только боковую, когда требуется полная. Пятое: ответ записывают с π или с корнем, хотя в бланк краткого ответа нужно целое число или конечная десятичная дробь.
- ✓Высота — именно перпендикуляр к плоскости основания.
- ✓Площадь основания посчитана по правильной планиметрической формуле.
- ✓Для правильной пирамиды выбран верный радиус: r для апофемы, R для бокового ребра.
- ✓Проверено, боковая или полная поверхность нужна в ответе.
- ✓Ответ приведён к виду, допустимому для бланка кратких ответов.