Тела вращения: цилиндр, конус, шар и комбинации тел
Формулы тел вращения и правила работы с вписанными и описанными комбинациями, где ключ — верно найденное расстояние между центрами.
В телах вращения формул немного, но задача почти всегда сводится к одному осевому сечению: цилиндр даёт прямоугольник, конус — равнобедренный треугольник, шар — круг. Как только сечение построено, задача становится планиметрической.
Формулы тел вращения
| Тело | Объём | Боковая поверхность | Полная поверхность |
|---|---|---|---|
| Цилиндр | V = πR²h | S = 2πRh | S = 2πR(R + h) |
| Конус | V = ⅓πR²h | S = πRl | S = πR(R + l) |
| Усечённый конус | V = ⅓πh(R² + Rr + r²) | S = πl(R + r) | S(бок) + πR² + πr² |
| Шар | V = (4/3)πR³ | — | S = 4πR² |
| Шаровой сегмент высоты h | V = πh²(R − h/3) | S(сфер) = 2πRh | S(сфер) + площадь круга сечения |
Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса l с центральным углом α = 360°·R/l. Сечение шара плоскостью на расстоянии d от центра — круг радиуса r = √(R² − d²). Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, — прямоугольник со сторонами h и хордой основания.
Шар вписан в цилиндр, если h = 2R; тогда объёмы относятся как 2:3, а площади поверхностей — тоже как 2:3. Шар вписан в конус: его центр лежит на оси, а радиус равен радиусу вписанной окружности осевого сечения, r = S/p. Шар описан около конуса: центр на оси, R находится из условия равноудалённости от вершины и точек окружности основания. Шар описан около призмы только если около основания можно описать окружность, и центр лежит на середине отрезка, соединяющего центры описанных окружностей оснований.
- ·V = πR²h
- ·Осевое сечение — прямоугольник 2R на h
- ·Боковая поверхность разворачивается в прямоугольник 2πR на h
- ·Два основания-круга
- ·Все сечения, параллельные основанию, равны
- ·V = ⅓πR²h — втрое меньше
- ·Осевое сечение — равнобедренный треугольник
- ·Боковая поверхность разворачивается в сектор радиуса l
- ·Одно основание-круг
- ·Сечения, параллельные основанию, подобны основанию
Комбинации, которые встречаются чаще всего
- Шар, вписанный в куб: R = a/2; шар, описанный около куба: R = a√3/2.
- Цилиндр, вписанный в шар: R(шара)² = R(цил)² + (h/2)².
- Конус, вписанный в шар: вершина и окружность основания лежат на сфере.
- Шар, вписанный в правильную пирамиду: радиус находится через объём и полную поверхность, r = 3V/S(полн).
- Призма, вписанная в цилиндр: боковые рёбра совпадают с образующими.
Условие. Объём конуса равен 32π, а его высота равна 6. Найдите радиус основания конуса. Решение. 1) Объём конуса V = ⅓πR²h. 2) Подставляем данные: 32π = ⅓ · π · R² · 6 = 2πR². 3) Делим обе части на 2π: R² = 16. 4) Радиус положителен, поэтому R = 4. Ответ: 4. Продолжение уровня задания 1. Найдём площадь полной поверхности этого конуса: l = √(R² + h²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13, S = πR(R + l) = 4π(4 + 2√13).
Первое: в формуле боковой поверхности конуса вместо образующей l подставляют высоту h. Второе: при вписанном шаре в цилиндр забывают условие h = 2R и вводят лишнюю переменную. Третье: в задаче про развёртку конуса угол сектора считают равным углу осевого сечения. Четвёртое: при делении на π в кратком ответе оставляют π в бланке, хотя условие требует ответ, делённый на π. Пятое: радиус берут отрицательным корнем квадратного уравнения — потеря балла за неотброшенный посторонний корень в развёрнутой части.
- ✓Построено осевое сечение и на нём отмечены все данные.
- ✓В формуле боковой поверхности конуса стоит образующая, а не высота.
- ✓Для вписанных и описанных тел записано условие связи радиусов.
- ✓Отброшены отрицательные корни с указанием причины.
- ✓Проверено, требуется ли ответ, делённый на π.