Сечения многогранников и оформление задания 13

Секущая плоскость пересекает грань по отрезку прямой. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, линии пересечения параллельны — значит, следы на противоположных гранях параллелепипеда параллельны. Две плоскости пересекаются по прямой, поэтому точки, принадлежащие обеим плоскостям, лежат на одной прямой — на этом основан метод следов.

Через проекцию: S(сечения) = S(проекции) / cos φ, где φ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции. Напрямую: разбить сечение на треугольники и посчитать каждый по формуле Герона или через S = ½ab·sin γ. Через объём: если сечение делит тело на части, объёмы частей можно связать с площадью сечения и расстояниями.

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 точка M — середина ребра CC₁. а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, M и D₁, и докажите, что оно является трапецией. б) Найдите площадь этого сечения. Решение пункта а). 1) Точки A и D₁ лежат в грани ADD₁A₁, поэтому отрезок AD₁ целиком принадлежит и этой грани, и секущей плоскости — это сторона сечения. 2) Точки D₁ и M лежат в грани DCC₁D₁, поэтому отрезок D₁M — вторая сторона сечения. 3) Плоскости граней ADD₁A₁ и BCC₁B₁ параллельны. Секущая плоскость пересекает первую по прямой AD₁, значит вторую она пересекает по прямой, параллельной AD₁ (если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны). Проводим в грани BCC₁B₁ через точку M прямую, параллельную AD₁; она пересекает ребро BC в точке K. 4) Точки A и K лежат в плоскости основания ABCD, соединяем их — получаем четвёртую сторону. Сечение — четырёхугольник AKMD₁. 5) По построению KM ∥ AD₁. Стороны AK и D₁M лежат в непараллельных гранях ABCD и DCC₁D₁ и не параллельны. Значит, у четырёхугольника ровно одна пара параллельных сторон, и по определению AKMD₁ — трапеция. Что и требовалось доказать. Решение пункта б). 1) Введём прямоугольную систему координат: A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;2;0), верхние вершины отличаются координатой z = 2. Тогда M(2;2;1), D₁(0;2;2). 2) Найдём K. Вектор AD₁ = (0;2;2); прямая через M, параллельная ему, пересекает ребро BC (точки вида (2; y; 0)) при K(2;1;0). Проверка: KM = (0;1;1) коллинеарен AD₁ = (0;2;2). 3) Длины оснований: AD₁ = √(0 + 4 + 4) = 2√2, KM = √(0 + 1 + 1) = √2. 4) Боковые стороны: AK = √(4 + 1 + 0) = √5 и D₁M = √(4 + 0 + 1) = √5, то есть трапеция равнобедренная. 5) Высота трапеции: h = √(AK² − ((AD₁ − KM)/2)²) = √(5 − (√2/2)²) = √(5 − 0,5) = √4,5 = 3√2/2. 6) S = (AD₁ + KM)/2 · h = (2√2 + √2)/2 · 3√2/2 = (3√2/2) · (3√2/2) = 18/4 = 4,5. Ответ: б) 4,5.

Первое: сечение нарисовано, но не описано словами — построение считается необоснованным, и балл за пункт а) не ставится. Второе: соединены две точки, лежащие в разных гранях, — грубая ошибка построения. Третье: параллельность сторон сечения объявлена без ссылки на теорему о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью. Четвёртое: в пункте б) площадь сечения посчитана как площадь проекции без деления на косинус угла. Пятое: пункты не разделены, и эксперт не может оценить их отдельно. Шестое: получено уравнение с двумя корнями, и не отброшен тот, при котором точка выходит за пределы ребра.