Геометрия·7 класскод 1.3·8 мин

Равнобедренный треугольник: свойства и признаки. Медиана, биссектриса, высота

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают в одном отрезке.

Тренировать тему

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны; эти стороны называются боковыми, третья — основанием. Треугольник называется равносторонним, если равны все три его стороны; равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного.

Три чевианы треугольника

Отрезки в треугольнике ABC

Медианаиз вершины в середину противоположной стороны

Биссектрисаиз вершины, делит угол пополам, до противоположной стороны

Высотаперпендикуляр из вершины к прямой противоположной стороны

Три медианыпересекаются в одной точке

Три биссектрисыпересекаются в одной точке

Три высотыих прямые пересекаются в одной точке

Каждая проводится из вершины, но заканчивается по-разному.

Свойство углов при основании

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если в ΔABC стороны AB = BC, то ∠A = ∠C.

Свойство биссектрисы, проведённой к основанию

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является одновременно медианой и высотой. Она делит основание пополам и перпендикулярна ему, а сам треугольник разбивает на два равных прямоугольных треугольника.

Признаки равнобедренного треугольника

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный, и равны стороны, лежащие против этих углов. Если медиана треугольника является его высотой (или биссектриса является медианой), то треугольник равнобедренный.

Свойство против признака

Свойство (дано равенство сторон)

·Дано: AB = BC = 10 см
·Следует: ∠A = ∠C
·Следует: медиана BM ⊥ AC
·Следует: AM = MC
·Применяют, когда бока уже равны

Признак (дано равенство углов)

·Дано: ∠A = ∠C = 65°
·Следует: AB = BC
·Дано: медиана BM является высотой
·Следует: треугольник равнобедренный
·Применяют, когда бока надо доказать

Свойство идёт от равных сторон к равным углам, признак — в обратную сторону.

Периметр и углы

Периметр равнобедренного треугольника: P = 2b + a, где b — боковая сторона в см, a — основание в см. Углы: ∠A = ∠C = (180° − ∠B) : 2, где ∠B — угол при вершине. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Треугольники по сторонам

Разносторонний, равнобедренный и равносторонний — вложенная классификация.

Разбор задачи с числами

Условие: в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC периметр равен 34 см, а основание на 5 см меньше боковой стороны. Найти стороны и углы, если ∠B = 50°. Решение: пусть боковая сторона равна b см, тогда основание a = b − 5. Периметр: 2b + (b − 5) = 34, значит 3b = 39 и b = 13 см. Тогда a = 13 − 5 = 8 см. Стороны: AB = BC = 13 см, AC = 8 см. Углы при основании: ∠A = ∠C = (180° − 50°) : 2 = 130° : 2 = 65°. Проверка: 65 + 65 + 50 = 180°. Ответ: 13 см, 13 см, 8 см; углы 65°, 65°, 50°.

Типичная ошибка

Свойство «медиана является высотой» переносят на любую медиану равнобедренного треугольника. Совпадают только медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, то есть из вершины между боковыми сторонами. Медиана, проведённая к боковой стороне, высотой не является. Ещё одна ошибка в задачах на периметр: получив пару чисел, забывают проверить неравенство треугольника — например, стороны 4 см, 4 см и 12 см треугольника не образуют.

Проверьте себя

✓Определено, какая сторона является основанием, а какие боковыми
✓Равные углы записаны при основании, а не при вершине
✓Совпадение медианы, биссектрисы и высоты применено только к основанию
✓Сумма углов проверена: два угла при основании плюс угол при вершине равны 180°
✓Найденные стороны удовлетворяют неравенству треугольника

← Треугольник и три признака равенства треугольников Параллельные прямые: признаки и свойства. Углы при пересечении двух прямых секущей →