Параллельные прямые: признаки и свойства. Углы при пересечении двух прямых секущей
Накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние в сумме дают 180° тогда и только тогда, когда прямые параллельны.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются; запись a ∥ b. Аксиома параллельных: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Тип пары и соотношение при a ∥ b
| Тип пары углов | Расположение относительно секущей | Соотношение при параллельных |
|---|---|---|
| Накрест лежащие | по разные стороны, внутри | равны |
| Соответственные | по одну сторону, один внутри один снаружи | равны |
| Односторонние | по одну сторону, оба внутри | сумма равна 180° |
| Вертикальные | общая вершина | равны всегда |
| Смежные | общая сторона | сумма 180° всегда |
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Кроме того, две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна 180°. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
- ·Дано: равенство или сумма углов
- ·Например ∠1 = ∠2 = 68° накрест лежащие
- ·Требуется: доказать a ∥ b
- ·Вывод: a ∥ b по признаку
- ·Используется в задачах на доказательство
- ·Дано: известно, что a ∥ b
- ·Например дан один угол 68°
- ·Требуется: найти остальные углы
- ·Вывод: накрест лежащий тоже 68°
- ·Используется в задачах на вычисление
При a ∥ b и секущей c: ∠накрест лежащий = ∠накрест лежащий; ∠соответственный = ∠соответственный; ∠односторонний₁ + ∠односторонний₂ = 180°. Все восемь углов принимают только два значения: α и 180° − α.
Условие: прямые a и b параллельны, секущая c образует с ними два односторонних угла, один из которых в 4 раза больше другого. Найти все восемь углов. Решение: пусть меньший односторонний угол равен x градусов, больший 4x. По свойству параллельных прямых x + 4x = 180, значит 5x = 180 и x = 36. Тогда углы 36° и 144°. Все восемь углов принимают только эти два значения: четыре угла по 36° и четыре по 144°. Проверка накрест лежащих: 36° = 36°; проверка соответственных: 144° = 144°; проверка смежных: 36 + 144 = 180°. Ответ: 36° и 144°.
Равенство накрест лежащих углов применяют к прямым, параллельность которых не дана и не доказана. Равенство углов и параллельность связаны только в паре признак–свойство: сначала одно, потом другое. Вторая ошибка — путать односторонние углы с накрест лежащими и приравнивать их. Односторонние углы равны только в единственном случае, когда оба равны 90°.
- ✓Определено, что дано: параллельность или равенство углов
- ✓Тип пары углов назван точно: накрест лежащие, соответственные или односторонние
- ✓Для односторонних использована сумма 180°, а не равенство
- ✓Все восемь углов принимают только два значения α и 180° − α
- ✓В доказательстве указан конкретный признак или свойство