Сумма углов треугольника, внешний угол. Неравенство треугольника. Прямоугольный треугольник
Сумма углов треугольника равна 180°, внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних, а любая сторона меньше суммы двух других.
Сумма углов треугольника равна 180°. Следствие: в треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов; каждый треугольник имеет хотя бы два острых угла.
∠A + ∠B + ∠C = 180°. Внешний угол: ∠внеш = 180° − ∠внутр = сумма двух несмежных внутренних углов. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следствие: внешний угол больше каждого из этих двух внутренних углов.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон: a < b + c. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно: против большего угла лежит большая сторона.
Классификация треугольников по углам
| Вид треугольника | Углы | Особенность |
|---|---|---|
| Остроугольный | все три угла острые | например 60°, 70°, 50° |
| Прямоугольный | один угол 90° | острые углы в сумме дают 90° |
| Тупоугольный | один угол тупой | например 120°, 40°, 20° |
Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, третья сторона — гипотенузой; гипотенуза больше каждого катета. Сумма острых углов равна 90°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Обратно: если катет равен половине гипотенузы, то угол против него равен 30°.
Условие: в прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, гипотенуза AB = 18 см, внешний угол при вершине A равен 150°. Найти углы треугольника и катет BC. Решение: внешний угол при A и внутренний ∠A смежные, поэтому ∠A = 180° − 150° = 30°. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, значит ∠B = 90° − 30° = 60°. Катет BC лежит против угла ∠A = 30°, следовательно BC равен половине гипотенузы: BC = 18 : 2 = 9 см. Проверка по теореме о внешнем угле: 150° = ∠B + ∠C = 60° + 90° = 150°. Ответ: ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°, BC = 9 см.
Внешний угол складывают со всеми тремя внутренними или приравнивают к смежному с ним внутреннему. Внешний угол равен сумме именно двух несмежных внутренних углов, а с третьим, смежным, он даёт 180°. Вторая ошибка — правило «против угла 30° лежит половина гипотенузы» применяют к произвольному треугольнику: оно верно только в прямоугольном и только для катета против угла 30°.
- ✓Сумма всех трёх углов в ответе равна 180°
- ✓Для внешнего угла взяты именно два несмежных внутренних
- ✓Проверено неравенство треугольника для найденных сторон
- ✓Большая сторона поставлена против большего угла
- ✓Свойство катета против угла 30° применено только в прямоугольном треугольнике
- ✓Единицы указаны: градусы для углов, см для сторон