Действия с натуральными числами: порядок действий, свойства, степень, деление с остатком
Порядок действий, переместительное и сочетательное свойства, распределительное свойство, степень и деление с остатком образуют базовый счётный аппарат.
1) Действия в скобках. 2) Возведение в степень. 3) Умножение и деление слева направо. 4) Сложение и вычитание слева направо. Выражение без скобок со сложением и вычитанием считают строго слева направо: 20 − 7 + 3 = 13 + 3 = 16, а не 20 − 10 = 10.
Свойства сложения и умножения
| Свойство | Буквенная запись | Числовой пример |
|---|---|---|
| Переместительное сложения | a + b = b + a | 37 + 63 = 63 + 37 = 100 |
| Сочетательное сложения | (a + b) + c = a + (b + c) | (48 + 27) + 3 = 48 + 30 = 78 |
| Переместительное умножения | a · b = b · a | 25 · 4 = 4 · 25 = 100 |
| Сочетательное умножения | (a · b) · c = a · (b · c) | (8 · 25) · 4 = 8 · 100 = 800 |
| Распределительное | a · (b + c) = a·b + a·c | 7 · 102 = 7·100 + 7·2 = 714 |
| Свойства нуля и единицы | a + 0 = a; a · 1 = a; a · 0 = 0 | 56 · 1 = 56; 56 · 0 = 0 |
aⁿ = a · a · … · a (n множителей), где a — основание, n — показатель. a² — квадрат числа, a³ — куб. Примеры: 2⁵ = 32; 10³ = 1000; 1ⁿ = 1; a¹ = a.
a = b · q + r, где 0 ≤ r < b. Здесь a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток. Остаток всегда строго меньше делителя.
Подбираем неполное частное: 15 · 16 = 240, а 15 · 17 = 255 > 247. Значит q = 16. Остаток r = 247 − 240 = 7. Проверка условия: 0 ≤ 7 < 15 — верно. Запись: 247 = 15 · 16 + 7. Задача: в коробку кладут 15 шаров, шаров 247. Полных коробок 16, останется 7 шаров, значит понадобится 17 коробок.
1) Путают степень и умножение: 3⁴ = 81, а не 12. 2) Считают вычитание справа налево: 100 − 30 − 20 = 70 − 20 = 50, а не 100 − 10 = 90. 3) Забывают условие r < b: запись 47 = 5 · 8 + 7 неверна, потому что 7 > 5; правильно 47 = 5 · 9 + 2. И помните: делить на нуль нельзя.
- ✓Расставил порядок действий: скобки → степень → · и : → + и −
- ✓Сложение и вычитание считал слева направо
- ✓Применил свойства для устного счёта (округлил множитель до 100)
- ✓В степени умножил основание нужное число раз
- ✓В делении с остатком проверил, что 0 ≤ r < b, и сделал проверку a = b·q + r