НОД и НОК: алгоритм нахождения и приведение дробей к общему знаменателю
НОД находят по общим простым множителям с наименьшими степенями, НОК — по всем множителям с наибольшими степенями.
НОД(a, b) — наибольший общий делитель: наибольшее число, на которое делятся и a, и b. НОК(a, b) — наименьшее общее кратное: наименьшее число, которое делится и на a, и на b. Всегда НОД(a, b) ≤ min(a, b) ≤ НОК(a, b). Числа называют взаимно простыми, если НОД(a, b) = 1, например 8 и 15.
НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b. Отсюда НОК(a, b) = (a · b) : НОД(a, b). Для 60 и 84: НОК = (60 · 84) : 12 = 5040 : 12 = 420.
- ·общие множители: 2, 2, 3
- ·наименьшие степени
- ·делит оба числа
- ·12 ≤ 60 и 12 ≤ 84
- ·все множители: 2, 2, 3, 5, 7
- ·наибольшие степени
- ·делится на оба числа
- ·420 ≥ 60 и 420 ≥ 84
Наименьший общий знаменатель дробей — это НОК их знаменателей. Дополнительный множитель для каждой дроби: НОК, делённый на знаменатель этой дроби. Числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.
Разложения: 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3. НОК = 2³ · 3² = 8 · 9 = 72. Дополнительные множители: 72 : 18 = 4 и 72 : 24 = 3. Приводим: 7/18 = 28/72, 5/24 = 15/72. Сумма: 28/72 + 15/72 = 43/72. Дробь несократима, так как 43 — простое число. Ответ: 43/72.
Готовые примеры
| Числа | Разложения | НОД | НОК |
|---|---|---|---|
| 12 и 18 | 2²·3 и 2·3² | 6 | 36 |
| 8 и 15 | 2³ и 3·5 | 1 | 120 |
| 16 и 48 | 2⁴ и 2⁴·3 | 16 | 48 |
| 30 и 45 | 2·3·5 и 3²·5 | 15 | 90 |
Для общего знаменателя нужен НОК, а не НОД. Ошибка: сложить 7/18 и 5/24 со знаменателем 6 (это НОД). Правильный знаменатель 72. И наоборот, для сокращения дроби нужен НОД. Ещё ловушка: если одно число делится на другое, НОД равен меньшему, НОК — большему: НОД(16, 48) = 16, НОК(16, 48) = 48, а не 768.
- ✓Разложил оба числа на простые множители
- ✓Для НОД взял только общие множители с наименьшими степенями
- ✓Для НОК взял все множители с наибольшими степенями
- ✓Проверил формулой НОД · НОК = a · b
- ✓Для общего знаменателя использовал НОК, для сокращения — НОД