Положительные и отрицательные числа: координатная прямая, модуль, сравнение

Координатная прямая — прямая с началом отсчёта O, положительным направлением и единичным отрезком. Справа от нуля — положительные числа, слева — отрицательные. Нуль не положителен и не отрицателен. Целые числа: … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 … Рациональные числа — все числа вида m/n, включая −2,5 и −3/4.

Два числа называют противоположными, если они отличаются только знаком: 7 и −7. На прямой они симметричны относительно нуля и находятся на одинаковом расстоянии от него. Сумма противоположных чисел равна нулю: a + (−a) = 0. Число, противоположное нулю, — сам нуль. Запись −(−5) = 5.

|a| = a, если a ≥ 0; |a| = −a, если a < 0. Модуль — расстояние от точки до нуля на координатной прямой, поэтому |a| ≥ 0 всегда. Примеры: |6| = 6; |−6| = 6; |0| = 0; |−2,5| = 2,5. Противоположные числа имеют равные модули.

Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного. Любое отрицательное число меньше нуля. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: −3 > −8, потому что |−3| = 3 < 8 = |−8|. Универсальное правило: больше то число, которое на координатной прямой правее.

Дано: 2,5; −4; 0; −0,5; 3; −4,5; |−1|. Сначала вычислим |−1| = 1. Отрицательные (по модулю от большего к меньшему): −4,5 (модуль 4,5), −4 (модуль 4), −0,5 (модуль 0,5). Затем 0. Затем положительные по возрастанию: 1; 2,5; 3. Ответ: −4,5 < −4 < −0,5 < 0 < 1 < 2,5 < 3. Задача о температуре: утром было −7 °C, к полудню потеплело на 12 °C. Стало −7 + 12 = 5 °C, изменение по модулю 12 °C.

Ошибка: −10 > −2, потому что 10 > 2. Верно: −10 < −2, ведь −10 стоит левее на прямой. Вторая ловушка: |−a| не всегда равно a. Если a = −5, то −a = 5, и |−a| = |5| = 5, а не −5. Третья: считать, что −a обязательно отрицательное число. Если a = −3, то −a = 3 — положительное.