Действия с рациональными числами: сложение, вычитание, умножение, деление

Одинаковые знаки: складывают модули, ставят общий знак. −4 + (−6) = −10. Разные знаки: из большего модуля вычитают меньший, ставят знак числа с бо́льшим модулем. −9 + 4 = −5 (модуль 9 больше, знак минус); 9 + (−4) = 5. Сумма противоположных чисел равна 0.

a − b = a + (−b): вычитание заменяется прибавлением противоположного числа. Примеры: 5 − 8 = 5 + (−8) = −3; −6 − 4 = −6 + (−4) = −10; −6 − (−4) = −6 + 4 = −2; 3 − (−7) = 3 + 7 = 10.

Переместительное: a + b = b + a, a·b = b·a. Сочетательное: (a+b)+c = a+(b+c), (a·b)·c = a·(b·c). Распределительное: a(b + c) = ab + ac. Свойства нуля: a + 0 = a, a · 0 = 0. Деление на нуль невозможно. Эти свойства работают для всех рациональных чисел, включая отрицательные.

Вычислить: −18 : (−3) + (−2)³ · (−1,5) − (−4 + 10). Шаг 1: −18 : (−3) = 6 (минусов два — плюс). Шаг 2: (−2)³ = −8 (нечётная степень). Шаг 3: (−8) · (−1,5) = 12 (два минуса). Шаг 4: скобка −4 + 10 = 6. Шаг 5: 6 + 12 − 6 = 12. Ответ: 12.

Вычислить −3/4 + 5/6. Общий знаменатель 12: −9/12 + 10/12. Знаки разные, модули 9 и 10: 10 − 9 = 1, знак плюс (у 10/12 модуль больше). Ответ: 1/12. Далее (−2/3) · (−9/8) = (2·9)/(3·8) = 18/24 = 3/4, знак плюс. И (−5/6) : (2/3) = (−5/6) · (3/2) = −15/12 = −5/4 = −1 1/4.

Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри: 5 − (3 − 8) = 5 − (−5) = 10, а не 5 − 3 − 8 = −6. Вторая ловушка: −2⁴ и (−2)⁴ — разные вещи. −2⁴ = −(2⁴) = −16, а (−2)⁴ = 16. Третья: при сложении разных знаков вычитают модули, а не складывают: −9 + 4 = −5, а не −13.