Умножение и деление дробей, взаимно обратные числа, дробные выражения

a/b · c/d = (a · c)/(b · d). a/b : c/d = a/b · d/c = (a · d)/(b · c). Умножение дроби на натуральное число: a/b · n = (a · n)/b. Смешанные числа перед умножением и делением переводят в неправильные дроби.

Два числа взаимно обратны, если их произведение равно 1. Для дроби a/b обратное b/a (a ≠ 0, b ≠ 0). Обратное к 5 — это 1/5, потому что 5 · 1/5 = 1. Обратное к 2 3/4 = 11/4 — это 4/11. Нуль не имеет обратного числа.

В дробном выражении числитель и знаменатель могут быть выражениями. Главная дробная черта означает деление: сначала находят значение числителя, потом знаменателя, затем делят. Главная черта пишется длиннее остальных и находится на уровне знака равенства.

Числитель: 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6. Знаменатель: 1 1/4 − 1/2 = 5/4 − 2/4 = 3/4. Делим: 5/6 : 3/4 = 5/6 · 4/3 = 20/18 = 10/9 = 1 1/9. Проверка обратным действием: 1 1/9 · 3/4 = 10/9 · 3/4 = 30/36 = 5/6 — совпало с числителем.

Дробь от числа — умножение: 3/5 от 45 кг = 45 · 3/5 = 27 кг. Число по его дроби — деление: если 3/5 массы равны 27 кг, то вся масса = 27 : 3/5 = 27 · 5/3 = 45 кг. В туристическом походе прошли 2/7 маршрута — это 16 км. Весь маршрут: 16 : 2/7 = 16 · 7/2 = 56 км. Осталось: 56 − 16 = 40 км.

При умножении и делении дробей приводить к общему знаменателю НЕ надо — это делают только при сложении и вычитании. Ошибка: 2/3 · 3/4 = 8/12 · 9/12. Верно: 2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2. Вторая ловушка: переворачивают обе дроби. Переворачивается только делитель. Третья: умножают смешанные числа «по частям»: 1 1/2 · 2 = 2 1/2 неверно, правильно 3/2 · 2 = 3.