Числовые и буквенные выражения, тождества, свойства степени
Как упрощать выражения, доказывать тождества и применять пять свойств степени с натуральным показателем.
Числовое выражение — запись из чисел и знаков действий; его значение — одно число. Буквенное выражение содержит переменные: значение появляется только после подстановки чисел. Если при подстановке возникает деление на ноль, выражение не имеет смысла.
Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Тождественное преобразование заменяет выражение на равное ему. Доказать тождество — привести обе части к одному виду или преобразовать одну часть в другую.
aⁿ = a·a·…·a (n множителей); aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0, m > n); (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ; (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b ≠ 0).
Свойства в действии
| Свойство | Общий вид | Пример | Результат |
|---|---|---|---|
| Умножение | aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³·2⁴ | 2⁷ = 128 |
| Деление | aᵐ:aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶:5⁴ | 5² = 25 |
| Степень степени | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ | 3⁶ = 729 |
| Степень произведения | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2x)⁴ | 16x⁴ |
| Степень дроби | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (x/3)² | x²/9 |
Упростить 3x²·(2x)³ − 4x⁵ и найти значение при x = 2. Шаг 1: (2x)³ = 2³x³ = 8x³. Шаг 2: 3x²·8x³ = 24·x²⁺³ = 24x⁵. Шаг 3: 24x⁵ − 4x⁵ = 20x⁵. Шаг 4: при x = 2 получаем 20·2⁵ = 20·32 = 640. Проверка без упрощения: 3·4·(4)³ − 4·32 = 12·64 − 128 = 768 − 128 = 640 — совпало.
- ·2(x + 3) = 2x + 6
- ·Верно при любом x
- ·Проверяем преобразованием
- ·Ответ: «доказано»
- ·2(x + 3) = 10
- ·Верно только при x = 2
- ·Решаем, находим корень
- ·Ответ: число
Ошибка: 2³·2⁴ = 2¹². Верно: показатели складываются, 2³·2⁴ = 2⁷. Вторая частая ошибка: (a + b)² считают равным a² + b² — это неверно, складывать в степень «по отдельности» можно только произведение, но не сумму. Третья: −3² = −9, а (−3)² = 9, скобки решают всё.
Быстрые ориентиры
- a¹ = a, a⁰ = 1 при a ≠ 0
- Отрицательное основание в чётной степени даёт плюс, в нечётной — минус
- Подобные слагаемые отличаются только числовым коэффициентом
- Знак минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри
- ✓Раскрыл все скобки с учётом знака перед ними
- ✓Складывал показатели, а не умножал
- ✓Учёл скобки у отрицательного основания
- ✓Привёл подобные слагаемые до конца
- ✓Подставил контрольное число и сверил значения