Линейное уравнение с одной переменной и текстовые задачи

Уравнение вида ax = b. Если a ≠ 0 — один корень x = b/a. Если a = 0 и b = 0 — корень любой (бесконечно много решений). Если a = 0 и b ≠ 0 — корней нет.

Корни не меняются, если: перенести слагаемое в другую часть, поменяв знак; умножить или разделить обе части на одно и то же число, не равное нулю; раскрыть скобки и привести подобные.

Движение: s = v·t, откуда t = s/v и v = s/t. Скорость по течению v + u, против течения v − u. Части: если величины относятся как m : n, то они равны mx и nx.

Решить (x + 2)/3 − (x − 1)/4 = 1. Общий знаменатель 12, умножаем обе части: 4(x + 2) − 3(x − 1) = 12. Раскрываем: 4x + 8 − 3x + 3 = 12. Приводим: x + 11 = 12, значит x = 1. Проверка: (1 + 2)/3 − (1 − 1)/4 = 1 − 0 = 1 — верно.

Катер прошёл 36 км по течению и вернулся, затратив 5 ч. Скорость течения 3 км/ч, найти собственную скорость v. Время туда 36/(v + 3), обратно 36/(v − 3). Уравнение: 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 5. Умножаем на (v + 3)(v − 3): 36(v − 3) + 36(v + 3) = 5(v² − 9), то есть 72v = 5v² − 45. Получаем 5v² − 72v − 45 = 0, корни v = 15 и v = −0,6. Отрицательная скорость не подходит, ответ: 15 км/ч.

Сплав массой 40 кг состоит из меди, цинка и олова в отношении 2 : 3 : 5. Сколько цинка? Обозначим одну часть за x: 2x + 3x + 5x = 40, то есть 10x = 40, x = 4. Цинка 3x = 12 кг. Проверка: 8 + 12 + 20 = 40 кг.

Найдя корень уравнения, ученики забывают вернуться к вопросу. В задаче про сплав x = 4 — это не ответ, а масса одной части; спрашивали про цинк, то есть 3x = 12. Второй капкан: не отбрасывают посторонний корень, противоречащий смыслу (отрицательная скорость, дробное число людей).