Разложение многочлена на множители

Всегда начинают с вынесения общего множителя за скобки. Затем смотрят на количество членов: два — разность квадратов или кубов; три — квадрат суммы, разности или разложение трёхчлена; четыре — группировка. После каждого шага проверяют, нельзя ли разложить множители дальше.

ab + ac = a(b + c); ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b); a² − b² = (a − b)(a + b); a² ± 2ab + b² = (a ± b)²; a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²).

Разложить 3x³ − 6x² + 5x − 10. Группируем: (3x³ − 6x²) + (5x − 10). Выносим: 3x²(x − 2) + 5(x − 2). Общая скобка (x − 2): ответ (x − 2)(3x² + 5). Проверка при x = 1: слева 3 − 6 + 5 − 10 = −8; справа (−1)(3 + 5) = −8 — совпало.

Разложить 2a⁴ − 32. Шаг 1, выносим 2: 2(a⁴ − 16). Шаг 2, разность квадратов: a⁴ − 16 = (a² − 4)(a² + 4). Шаг 3, первая скобка снова разность квадратов: a² − 4 = (a − 2)(a + 2). Сумма a² + 4 не раскладывается. Ответ: 2(a − 2)(a + 2)(a² + 4). Проверка при a = 3: слева 2·81 − 32 = 130; справа 2·1·5·13 = 130.

Ответ 2(a² − 4)(a² + 4) неполный: первая скобка ещё раскладывается. Требование «разложить на множители» означает довести до конца. Вторая ловушка группировки: при вынесении минуса из второй пары забывают поменять знаки — из −5x + 10 выносится −5, остаётся (x − 2), а не (x + 2).