Линейная функция y = kx + b и системы линейных уравнений

y = kx + b, где k — угловой коэффициент, b — свободный член. График — прямая. При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает, при k = 0 график горизонтален. Число b — ордината точки пересечения с осью Oy.

Угловой коэффициент по двум точкам: k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Нуль функции: x = −b/k при k ≠ 0. Прямые параллельны при k₁ = k₂ и b₁ ≠ b₂; совпадают при k₁ = k₂ и b₁ = b₂; пересекаются при k₁ ≠ k₂.

Решение системы — пара (x; y), обращающая в верное равенство оба уравнения. Геометрически это точка пересечения прямых. Одна точка — единственное решение, параллельные прямые — решений нет, совпадающие — бесконечно много.

Система: 3x + 2y = 16 и 5x − 2y = 8. Складываем уравнения: 8x = 24, значит x = 3. Подставляем в первое: 9 + 2y = 16, 2y = 7, y = 3,5. Ответ (3; 3,5). Проверка во втором: 15 − 7 = 8 — верно.

Система: y = 2x − 1 и x + y = 5. Подставляем y во второе: x + 2x − 1 = 5, откуда 3x = 6, x = 2, тогда y = 2·2 − 1 = 3. Ответ (2; 3). Графически это точка пересечения прямых y = 2x − 1 и y = −x + 5, что видно и на чертеже.

Найдя x = 3, решение не заканчивают: нужно найти y и записать пару (3; 3,5). Вторая ловушка — вывод «решений нет» без проверки: если k₁ = k₂ и b₁ = b₂, прямые совпадают и решений бесконечно много. Третья: при сложении уравнений забывают домножить всё уравнение целиком, включая правую часть.