Одночлены и многочлены: действия и вынесение общего множителя

Одночлен — произведение чисел, переменных и их степеней. Стандартный вид: сначала числовой коэффициент, затем степени переменных по алфавиту. Степень одночлена — сумма показателей всех переменных: у 5x³y² степень равна 5.

Многочлен — сумма одночленов. Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть; их приводят, складывая коэффициенты. Степень многочлена — наибольшая степень его членов после приведения подобных.

Умножение одночленов: коэффициенты перемножаются, показатели одинаковых букв складываются. Одночлен на многочлен: a(b + c) = ab + ac. Многочлен на многочлен: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Вынесение: ab + ac = a(b + c).

Упростить (2x − 3)(x + 4) − 2x². Раскрываем: 2x·x + 2x·4 − 3·x − 3·4 = 2x² + 8x − 3x − 12. Приводим: 2x² + 5x − 12. Вычитаем: 2x² + 5x − 12 − 2x² = 5x − 12. Проверка при x = 1: (2 − 3)(1 + 4) − 2 = −5 − 2 = −7; по ответу 5 − 12 = −7 — совпало.

Разложить 12a³b − 18a²b² + 6a²b. Коэффициенты 12, 18, 6 — НОД равен 6. Буквы: минимальная степень a равна 2, b равна 1. Общий множитель 6a²b. Делим: 12a³b : 6a²b = 2a; 18a²b² : 6a²b = 3b; 6a²b : 6a²b = 1. Ответ: 6a²b(2a − 3b + 1). Проверка обратным умножением даёт исходное выражение.

Если один из членов совпадает с общим множителем, в скобках остаётся 1, а не пустое место. В примере 6a²b(2a − 3b + 1) единицу теряют чаще всего. Ещё одна ловушка: минус перед скобкой при вынесении — из −4x + 8 выносим −4 и получаем −4(x − 2), знаки внутри меняются.