Исследование функции: экстремумы, наибольшее и наименьшее значение
Алгоритм задания 11 и правило, которое избавляет от лишних вычислений на отрезке.
Задание 11 — найти точку максимума или минимума либо наибольшее/наименьшее значение функции. Это чистый алгоритм: производная, критические точки, знаки, вывод. Ошибки почти всегда технические.
Алгоритм поиска экстремума
- Найти область определения функции.
- Найти производную и приравнять её к нулю; отдельно найти точки, где производная не существует.
- Отметить критические точки на числовой прямой в пределах области определения.
- Определить знаки производной на промежутках подстановкой пробных точек.
- Точка максимума — смена знака с + на −; точка минимума — с − на +.
- Ответить на вопрос: спрашивают точку (значение x) или значение функции (y).
Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке [a; b] достигается либо в критической точке внутри отрезка, либо на его концах. Достаточно сравнить значения функции в этих точках, и знаки производной исследовать не обязательно.
Практическое сокращение: если на отрезке ровно одна критическая точка и она является точкой минимума, то наименьшее значение достигается именно в ней, а концы можно не считать. То же для максимума. Это экономит половину арифметики.
Полезные приёмы упрощения
| Ситуация | Приём |
|---|---|
| Функция вида y = f(x) + C | константа не влияет на точку экстремума |
| Функция вида y = k·f(x), k > 0 | точки экстремума те же |
| Функция вида y = k·f(x), k < 0 | максимум и минимум меняются местами |
| y = ln(f(x)) или y = e^f(x) | экстремумы совпадают с экстремумами f (монотонная внешняя функция) |
| y = √f(x) | экстремумы совпадают с экстремумами f при f ≥ 0 |
| Дробь с положительным знаменателем | исследовать числитель, если знаменатель монотонен |
Найдите наименьшее значение функции y = x² − 12x + 5 ln x + 7 на отрезке [4; 6]. Область определения x > 0, отрезок подходит. Производная: y′ = 2x − 12 + 5/x. Приравниваем к нулю: (2x² − 12x + 5)/x = 0, то есть 2x² − 12x + 5 = 0. D = 144 − 40 = 104, корни (12 ± √104)/4 ≈ (12 ± 10,2)/4, то есть x ≈ 0,45 и x ≈ 5,55. На отрезке [4; 6] лежит только x ≈ 5,55, но значение некрасивое. Это признак того, что в реальном задании коэффициенты подобраны иначе. Рабочая схема остаётся: считаем y на концах отрезка и в критической точке, сравниваем. Проверка типа экстремума: слева от корня производная отрицательна (при x = 4: 8 − 12 + 1,25 < 0), справа положительна (при x = 6: 12 − 12 + 0,83 > 0), значит это минимум, и он же даёт наименьшее значение на отрезке.
1) Спросили точку максимума, а в ответ пишут значение функции в ней. Читайте: «точка максимума» — это x, «максимум функции» — это y. 2) Критические точки вне области определения не отброшены (например, x ≤ 0 для функции с ln x). 3) На отрезке считают только критическую точку, забыв концы, хотя тип экстремума не проверен. 4) Производная сложной функции найдена без внутреннего множителя. 5) В функции с корнем не учтено, что производная не существует в точке, где подкоренное выражение равно нулю — это тоже критическая точка.
- ✓Нашёл область определения до дифференцирования
- ✓Учёл точки, где производная не существует
- ✓Проверил, что критические точки лежат внутри отрезка
- ✓Ответил именно на заданный вопрос: x или y
- ✓Сравнил значения в критических точках и на концах отрезка