Производная: смыслы, правила, чтение графиков

C′ = 0; (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; (√x)′ = 1/(2√x); (1/x)′ = −1/x²; (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = −sin x; (tg x)′ = 1/cos²x; (ctg x)′ = −1/sin²x; (eˣ)′ = eˣ; (aˣ)′ = aˣ·ln a; (ln x)′ = 1/x; (log_a x)′ = 1/(x·ln a)

(u ± v)′ = u′ ± v′; (C·u)′ = C·u′; (u·v)′ = u′v + uv′; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²; сложная функция: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x); например (sin 5x)′ = 5cos 5x, (e^(3x))′ = 3e^(3x)

Уравнение касательной к графику y = f(x) в точке x₀: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Если касательная параллельна прямой y = kx + b, то f′(x₀) = k. Если перпендикулярна — f′(x₀) = −1/k.

Тип 1: дан график функции y = f(x) и касательная в точке x₀. Найдите f′(x₀). Берём на касательной две узловые точки с целыми координатами, считаем k = Δy/Δx. Если касательная идёт вниз слева направо — k отрицателен. Тип 2: дан график производной y = f′(x), найдите число точек максимума f на отрезке. Точки максимума — это те, где график производной пересекает ось Ox сверху вниз (меняет знак с плюса на минус). Пересечения снизу вверх — минимумы, касания оси без смены знака — не экстремумы. Тип 3: дан график производной, найдите промежуток возрастания f. Это промежуток, где график производной лежит выше оси Ox. Тип 4: дан график f, найдите число точек, где производная равна нулю. Считаем точки локальных экстремумов, то есть вершины «горбов» и «ям».

1) Путают график функции и график производной. Всегда читайте подпись под рисунком: y = f(x) или y = f′(x). 2) Считая угловой коэффициент по графику, берут точки не в узлах сетки — получают дробный k вместо целого. 3) Забывают знак: убывающая касательная даёт отрицательный k. 4) В сложной функции пропускают внутреннюю производную: (cos 2x)′ = −2sin 2x, а не −sin 2x. 5) В точках, где производная равна нулю, но знак не меняется, ошибочно объявляют экстремум.