Рациональные и иррациональные уравнения: ОДЗ и посторонние корни
Где именно рождаются лишние и потерянные корни и как это оформить, чтобы не потерять балл.
Уравнение может быть решено верно по технике и оценено нулём — если переход был неравносильным и это не отслежено. Есть ровно четыре операции, меняющие множество корней; их нужно знать поимённо.
Неравносильные переходы
| Операция | Что происходит | Как страховаться |
|---|---|---|
| Умножение на выражение с переменной | появляются посторонние корни | записать ОДЗ или проверить корни |
| Деление на выражение с переменной | теряются корни | отдельно разобрать случай, когда оно равно нулю |
| Возведение в чётную степень | появляются посторонние корни | проверка подстановкой или условие неотрицательности |
| Извлечение корня чётной степени | теряется ветвь | писать |f| = g, а не f = g |
| Логарифмирование / потенцирование | меняется область определения | выписать ОДЗ до преобразования |
| Сокращение общего множителя | теряется корень | приравнять множитель к нулю отдельно |
√f(x) = g(x) ⇔ система: g(x) ≥ 0 и f(x) = g²(x) (условие f ≥ 0 следует автоматически); √f(x) = √g(x) ⇔ система: f(x) = g(x) и f(x) ≥ 0; f(x)/g(x) = 0 ⇔ система: f(x) = 0 и g(x) ≠ 0
В схеме √f = g достаточно условия g ≥ 0, писать ещё и f ≥ 0 не нужно: если f = g², то f автоматически неотрицательно. Лишнее условие не ошибка, но экономия времени в задании 13 важна.
Решите уравнение √(x + 7) = x − 5. Система: x − 5 ≥ 0, то есть x ≥ 5, и x + 7 = (x − 5)². Раскрываем: x + 7 = x² − 10x + 25, значит x² − 11x + 18 = 0. По Виету x₁ = 2, x₂ = 9. Условию x ≥ 5 удовлетворяет только x = 9. Ответ: 9. Тот, кто просто возвёл в квадрат и записал оба корня, получает 0 баллов, потому что x = 2 даёт √9 = −3 — ложное равенство. Второй разбор: (x² − 4)/(x − 2) = 0. Числитель ноль при x = ±2, но x = 2 не входит в ОДЗ. Ответ: −2. Третий разбор: x³ = 4x. Делить на x нельзя. Переносим: x(x² − 4) = 0, корни 0, 2, −2.
1) Возведение в квадрат без проверки. Проверку можно делать двумя способами: условием неотрицательности правой части (быстрее) или подстановкой (надёжнее, но долго). Хотя бы один способ обязан присутствовать в записи. 2) ОДЗ выписано, но корни с ним не сверены — эксперт снимает балл за отсутствие вывода. 3) Ответ записан как «x = 2 или x = 9», хотя корень 2 отброшен: нужно явно написать, что он не подходит и почему. 4) В уравнениях с двумя корнями √a + √b = c возводят в квадрат, забывая про удвоенное произведение.
- ✓Знаю все четыре неравносильных перехода
- ✓Никогда не делю на выражение с переменной без отдельного разбора
- ✓Схему √f = g пишу через систему с g ≥ 0
- ✓После нахождения корней явно сверяю их с ОДЗ и пишу вывод
- ✓Проверяю сомнительный корень подстановкой в исходное уравнение