Тригонометрия: формулы, значения, преобразования

sin²α + cos²α = 1; tg α = sin α/cos α; ctg α = cos α/sin α; tg α · ctg α = 1; 1 + tg²α = 1/cos²α; 1 + ctg²α = 1/sin²α

sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α; tg 2α = 2tg α/(1 − tg²α); sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β; sin²α = (1 − cos 2α)/2; cos²α = (1 + cos 2α)/2

sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2); cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2); cos α − cos β = −2 sin((α+β)/2) sin((α−β)/2); sin α cos β = ½(sin(α+β) + sin(α−β))

Формулы приведения без таблицы: если аргумент вида π/2 ± α или 3π/2 ± α (нечётное число π/2) — функция меняется на кофункцию (sin ↔ cos, tg ↔ ctg); если π ± α или 2π ± α — не меняется. Знак определяется по четверти, в которой лежит исходный аргумент, при условии, что α острый.

Найдите значение выражения 6 cos(π/2 + α), если sin α = −0,4. Формула приведения: аргумент π/2 ± α, значит cos переходит в sin. Угол π/2 + α лежит во второй четверти при остром α, где косинус отрицателен, значит cos(π/2 + α) = −sin α. Получаем 6 · (−(−0,4)) = 2,4. Второй разбор: найдите cos 2α, если sin α = 0,6. Берём формулу cos 2α = 1 − 2sin²α = 1 − 2·0,36 = 0,28. Это удобнее, чем искать cos α, потому что знак cos α неизвестен, а на ответ он не влияет. Третий разбор: упростите (1 − cos 2α)/sin 2α. Числитель равен 2sin²α, знаменатель 2 sin α cos α, значит выражение равно tg α.

1) Знак при формулах приведения определяют по четверти результата, а не исходного аргумента — это неверно. 2) cos 2α записывают как 2 cos α. 3) Из sin²α = 0,36 делают вывод sin α = 0,6, теряя отрицательную ветвь. Правильно sin α = ±0,6, и знак выбирается по четверти. 4) Формулу 1 + tg²α = 1/cos²α применяют при cos α = 0. 5) В задачах вида «найдите tg α, если …» забывают, что тангенс не определён при α = π/2 + πn.