Задание 15: неравенства повышенного уровня

Множители чётной кратности (например (x − 3)²) не меняют знак при переходе через корень. Такой корень отмечается на прямой, но знак сохраняется; при нестрогом неравенстве точка включается в ответ, при строгом — исключается.

log_h f − log_h g ⇒ (h − 1)(f − g); log_h f ⇒ (h − 1)(f − 1); a^f − a^g ⇒ (a − 1)(f − g); |f| − |g| ⇒ (f − g)(f + g); √f − √g ⇒ f − g (при f, g ≥ 0); f − g при чётной степени: fⁿ − gⁿ ⇒ (f − g)(f + g) для n = 2

Решите неравенство log₃(x² − 4) ≤ log₃(3x). ОДЗ: x² − 4 > 0 и 3x > 0. Первое даёт x < −2 или x > 2, второе x > 0. Пересечение: x > 2. Основание 3 больше единицы, знак сохраняется: x² − 4 ≤ 3x, то есть x² − 3x − 4 ≤ 0. Корни −1 и 4, решение [−1; 4]. Пересекаем с ОДЗ x > 2: получаем (2; 4]. Ответ: x ∈ (2; 4]. Обратите внимание: точка 2 не входит, так как в ней аргумент логарифма равен нулю; точка 4 входит, так как неравенство нестрогое. Второй разбор: (2^x − 8)/(x − 1) ≥ 0. Рационализуем числитель: 2^x − 2³ ⇒ (2 − 1)(x − 3) = x − 3. Неравенство сводится к (x − 3)/(x − 1) ≥ 0, решение (−∞; 1) ∪ [3; +∞).

1) ОДЗ не выписано или выписано, но не пересечено с решением. Это самая частая причина 1 балла вместо 2. 2) Крест-накрест: из a/b > c/d выводят ad > cb, не зная знаков b и d. 3) Точки, где знаменатель обращается в ноль, включены в ответ. 4) При основании логарифма из промежутка (0; 1) знак не изменён. 5) Ответ записан в виде системы неравенств вместо промежутков — формально принимается, но при сложном ответе резко растёт риск ошибки. 6) Забыли, что квадратичный множитель без корней (D < 0) всегда положителен и на знак не влияет — его можно сократить, но нужно это оговорить.