Статистика: среднее, медиана, мода, размах, диаграммы
Четыре характеристики набора данных и правило, из-за которого медиану считают неверно чаще всего.
Статистика в ОГЭ проверяется в задании 10 и в практическом модуле через диаграммы и таблицы. Ошибок мало, но они дорогие: почти все связаны с медианой.
среднее арифметическое: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n; размах: R = xmax − xmin; мода: значение, встречающееся чаще всех; медиана: при нечётном n — средний элемент упорядоченного ряда; при чётном n — среднее двух средних
Перед вычислением медианы набор обязательно упорядочивают по возрастанию. Медиана неупорядоченного ряда не имеет смысла. Для набора из n элементов при нечётном n медиана стоит на месте (n + 1)/2.
Что чувствительно к выбросам
| Характеристика | Реакция на один аномальный элемент | Когда применяют |
|---|---|---|
| Среднее | сильно смещается | когда данные однородны |
| Медиана | почти не меняется | когда есть выбросы (доходы, цены) |
| Мода | не меняется | для качественных данных, размеров, цветов |
| Размах | меняется максимально | оценка разброса |
Свойства, которые проверяют в заданиях
- Если к каждому числу набора прибавить одно и то же число c, то среднее, медиана и мода увеличатся на c, а размах не изменится.
- Если каждое число умножить на k > 0, то среднее, медиана, мода и размах умножатся на k.
- Среднее арифметическое объединения двух наборов не равно полусумме их средних, если наборы разного размера: считать нужно как (сумма₁ + сумма₂)/(n₁ + n₂).
- Медиана всегда лежит между наименьшим и наибольшим элементом; если она вышла за эти границы, допущена ошибка.
- Сумма всех элементов набора равна произведению среднего на количество элементов — это позволяет восстанавливать пропущенный элемент.
- Мода — единственная характеристика, применимая к нечисловым данным (цвет, размер, марка).
Набор: 4, 7, 2, 9, 7, 3. Упорядочим: 2, 3, 4, 7, 7, 9. Элементов шесть — чётное число, значит медиана равна среднему третьего и четвёртого: (4 + 7)/2 = 5,5. Мода 7, размах 9 − 2 = 7, среднее (2+3+4+7+7+9)/6 = 32/6 ≈ 5,33. Обратите внимание: медиана 5,5 не совпадает ни с одним элементом набора — это нормально. Вторая задача: в наборе 10 чисел медиана равна 12, а среднее 20. Такое возможно, если один элемент очень велик; вывод про типичное значение делают по медиане.
1) Медиану считают по исходному, неупорядоченному ряду. 2) При чётном количестве берут одно из двух средних чисел вместо их полусуммы. 3) Мод может быть несколько, а может не быть вовсе — если все значения различны. 4) На круговой диаграмме доля читается по углу: 90° — это 25%, а не 90%. 5) На столбчатой диаграмме не смотрят на подпись оси: там могут быть тысячи или проценты.
- ✓Упорядочиваю ряд перед поиском медианы
- ✓Для чётного n беру полусумму двух средних
- ✓Различаю среднее и медиану по смыслу задачи
- ✓Читаю подписи осей и единицы на диаграмме
- ✓Проверяю, что сумма долей на круговой диаграмме даёт 100%