Часть 2, задания 21 и 22: текстовая задача и график с параметром
Полные схемы оформления двух самых дорогих алгебраических заданий и разбор критериев.
Задания 21 и 22 дают по 2 балла и решаются меньшинством участников — именно они отделяют 22 балла (пятёрка) от 15. Обе задачи имеют жёсткий шаблон оформления, который нужно отработать до автоматизма.
Шаблон задания 21 (текстовая задача)
- Строка 1: «Пусть x — …» с единицами и ограничением (x > 0).
- Строка 2: выражения остальных величин через x (или таблица).
- Строка 3: уравнение с пояснением, из какого условия оно получено.
- Далее: решение уравнения с указанием D и корней.
- Отбор: «Корень x = … не подходит, так как …» — обязательная фраза.
- Финал: «Ответ: … (единицы)».
Шаблон задания 22 (график с параметром)
- Преобразовать формулу: разложить, сократить, выделить выколотые точки.
- Записать область определения исходной функции — до сокращения.
- Описать словами, что получилось: «график — парабола y = x² − 4 с выколотой точкой (1; −3)».
- Построить график в координатной плоскости с подписанными осями, единичным отрезком и координатами ключевых точек.
- Разобрать положение прямой y = m и указать все значения m, при которых число общих точек соответствует вопросу.
- Ответ записать перечислением или промежутком.
Критерии оценивания заданий 21 и 22
| Балл | Задание 21 | Задание 22 |
|---|---|---|
| 2 | верное уравнение, верное решение, обоснованный отбор, верный ответ | график построен верно, все особые точки учтены, все значения m найдены |
| 1 | верное уравнение, но одна вычислительная ошибка при верном методе | график верен, но не все значения m указаны, либо одна ошибка при верном ходе |
| 0 | уравнение составлено неверно или решение отсутствует | график построен неверно или особые точки не учтены |
Постройте график функции y = |x|·x − 4|x| и определите, при каких m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки. Раскрываем модуль по случаям. При x ≥ 0: y = x² − 4x, парабола с ветвями вверх, нулями 0 и 4, вершиной (2; −4). При x < 0: y = −x² + 4x, ветви вниз, но берётся только левая часть при x < 0; вершина этой параболы в точке (2; 4), а на промежутке x < 0 функция убывает и уходит вниз. Итоговый график — две дуги, состыкованные в начале координат. Прямая y = m пересекает график в трёх точках, когда она проходит между локальными экстремумами. Для этой функции локальный минимум правой ветви равен −4 при x = 2, а на левой ветви функция при x → 0− стремится к 0. Три общие точки получаются при −4 < m < 0. Ответ: m ∈ (−4; 0). Оформление требует явного разбора обоих случаев модуля и явного указания координат вершин.
1) В задании 22 находят одно значение m и останавливаются, хотя ответ — промежуток или несколько чисел. 2) График нарисован на клетчатом поле без осей и подписей — эксперт не может проверить точки. 3) Выколотую точку рисуют закрашенной. 4) В задании 21 отсутствует фраза об отборе корня. 5) Ответ задания 21 дан в других единицах, чем спрашивали (часы вместо минут). 6) Оба задания решены в черновике, а на бланк перенесён «чистовой ответ» без выкладок.
- ✓В задаче 21 есть все пять шагов шаблона
- ✓В задаче 22 указана область определения до сокращения
- ✓Все выколотые точки отмечены кружком и подписаны координатами
- ✓Перебрал все положения прямой y = m, включая касание и прохождение через выколотую точку
- ✓Ответ записан промежутком или перечислением, а не одним числом