Системы уравнений: подстановка, сложение, графический смысл
Как выбрать метод за 10 секунд и не потерять вторую пару решений.
Системы встречаются в задании 9 и часто становятся вторым шагом текстовой задачи 21. Уровень ОГЭ — линейные системы и системы, где одно уравнение линейное, а второе второй степени.
Три метода и когда их применять
- Подстановка: если в одном уравнении переменная выражается легко (коэффициент 1 или −1). Универсален, но даёт громоздкие выкладки при больших коэффициентах.
- Сложение (алгебраическое): если коэффициенты при одной переменной противоположны или легко уравниваются домножением. Самый быстрый для линейных систем.
- Графический: применяется, когда просят число решений или когда система задана графиками. Число решений — число точек пересечения.
Ответ системы — пара чисел (x; y), а не отдельное число. Если решений несколько, записывают все пары. Найдя x, обязательно найдите соответствующий ему y, подставляя в исходное уравнение, а не в промежуточное.
Число решений линейной системы
| Соотношение коэффициентов | Геометрия | Решения |
|---|---|---|
| a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ | прямые пересекаются | одно решение |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ | прямые параллельны | решений нет |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | прямые совпадают | бесконечно много |
Приёмы для симметричных систем
- Если система симметрична относительно перестановки x и y (например, x + y = a и xy = b), вводят замену s = x + y и p = xy. Тогда x и y — корни уравнения t² − st + p = 0.
- Тождество, которое нужно помнить: x² + y² = (x + y)² − 2xy. Оно превращает большинство симметричных систем в линейную относительно s и p.
- Также полезно: x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) и (x − y)² = (x + y)² − 4xy.
- Если в системе есть дробь, ОДЗ выписывают до преобразований и сверяют найденные пары с ним.
- Если одно из уравнений раскладывается на множители (например, x² − y² = 0), система распадается на две более простые системы, и решать нужно обе.
Решите систему: x + y = 5 и x² + y² = 13. Из первого y = 5 − x. Подставляем: x² + (5 − x)² = 13, то есть x² + 25 − 10x + x² = 13, 2x² − 10x + 12 = 0, x² − 5x + 6 = 0. По Виету x₁ = 2, x₂ = 3. Тогда y₁ = 3, y₂ = 2. Ответ: (2; 3) и (3; 2). Типичная ошибка — записать «x = 2, y = 2», перепутав соответствие. Всегда подставляйте каждый найденный x обратно и выписывайте пару целиком. Второй разбор: система 3x − 2y = 8 и 6x − 4y = 1. Отношения: 3/6 = 2/4 = 1/2, но 8/1 ≠ 1/2. Прямые параллельны, решений нет.
1) Нашли только x и остановились. Система без y — незаконченное решение, ноль баллов в части 2. 2) Перепутали соответствие корней: пары (2;3) и (3;2) — разные решения, но подставить x₁ к y₂ нельзя. 3) При методе сложения домножили только одно уравнение целиком, забыв домножить свободный член. 4) В системе с квадратным уравнением ОДЗ игнорируется, если в системе есть дробь или корень.
- ✓Записываю ответ парами (x; y)
- ✓Подставляю найденный корень в исходное уравнение, а не в преобразованное
- ✓Проверяю обе пары подстановкой в оба уравнения
- ✓Умею определять число решений по коэффициентам без решения
- ✓Не теряю вторую ветвь при квадратном уравнении