Алгебраические выражения: сокращение, формулы, дробные выражения
Техника упрощения, которая закрывает задание 9 части 1 и первый шаг почти любого задания 20.
Упростить выражение — значит разложить числитель и знаменатель на множители и сократить. Без беглого владения формулами сокращённого умножения задание 20 не решается в принципе.
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b); a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²); (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³; ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), где x₁ и x₂ — корни
Порядок разложения на множители
- Вынести общий множитель за скобки — всегда первый шаг.
- Применить формулу сокращённого умножения.
- Сгруппировать слагаемые попарно и вынести общий множитель из групп.
- Для квадратного трёхчлена найти корни и записать a(x − x₁)(x − x₂).
- Проверить, можно ли разложить получившиеся скобки дальше.
Сокращать дробь можно только на общий множитель числителя и знаменателя. (x + 3)/(x² + 3) сократить нельзя: 3 — слагаемое, а не множитель. Это самая частая ошибка на всём экзамене.
ОДЗ дробного выражения: знаменатель не равен нулю. При сокращении дроби ОДЗ исходного выражения сохраняется, даже если сократившийся множитель исчез. В части 2 это обязательно указывают.
Как узнать формулу по виду выражения
| Вид выражения | Формула | Результат |
|---|---|---|
| Два слагаемых, оба квадраты, знак минус | разность квадратов | (a − b)(a + b) |
| Три слагаемых, крайние квадраты, средний — удвоенное произведение | полный квадрат | (a ± b)² |
| Два слагаемых, оба кубы | сумма или разность кубов | (a ± b)(a² ∓ ab + b²) |
| Четыре слагаемых | группировка попарно | общий множитель из групп |
| Квадратный трёхчлен, не сворачивается | через корни | a(x − x₁)(x − x₂) |
| Есть общий множитель во всех слагаемых | вынесение за скобку | k(…) |
Упростите выражение (a² − 25)/(a² + 10a + 25) при a = 8. Числитель — разность квадратов: (a − 5)(a + 5). Знаменатель — полный квадрат: (a + 5)². Сокращаем на (a + 5): получаем (a − 5)/(a + 5). Подставляем: 3/13. Обратите внимание: подставлять a = 8 сразу в исходное выражение можно, но это долго и опасно арифметически. Сначала упрощаем, потом подставляем. Второй разбор: 1/(x − 2) − 4/(x² − 4). Раскладываем: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Общий знаменатель (x − 2)(x + 2). Получаем (x + 2 − 4)/((x−2)(x+2)) = (x − 2)/((x−2)(x+2)) = 1/(x + 2), при x ≠ ±2.
1) Сокращение через сложение: (x² + 4x)/x сокращают до x + 4 верно (общий множитель x), но (x² + 4)/x сократить нельзя. Различайте эти случаи по наличию общего множителя. 2) Знак при вынесении минуса: (3 − x) = −(x − 3). Забытый минус переворачивает ответ. 3) При приведении к общему знаменателю не домножили все числители. 4) В задании 20 забыли записать ограничение вида x ≠ 2 — эксперт снимает балл за неполноту, если сокращение на скобку было существенным.
- ✓Всегда сначала выношу общий множитель
- ✓Узнаю разность квадратов и полный квадрат мгновенно
- ✓Сокращаю только множители, никогда не слагаемые
- ✓Перед подстановкой числа упрощаю выражение до конца
- ✓В развёрнутом решении пишу ограничения на переменную