Текстовые задачи: движение, работа, смеси и проценты
Единая схема составления уравнения и типовые таблицы для четырёх сюжетов задания 21.
Задание 21 части 2 — текстовая задача на 2 балла. Оценивается полное решение: введение переменной, уравнение, решение, отбор корня по смыслу и ответ. Пропуск любого шага стоит балла.
Движение: s = v·t; при движении по течению v = vсоб + vтеч, против течения v = vсоб − vтеч; средняя скорость = весь путь / всё время (не среднее скоростей!) Работа: A = p·t, где p — производительность; совместная производительность складывается: p = p₁ + p₂ Концентрация: масса вещества = масса раствора · концентрация; при смешивании массы вещества складываются
Как оформлять таблицу к задаче
| Сюжет | Столбцы таблицы | Что приравнивают |
|---|---|---|
| Движение навстречу | s, v, t для каждого | сумма путей = расстояние |
| Движение вдогонку | s, v, t | разность путей или равенство путей |
| По течению и против | s, v, t для каждого участка | сумма времён = общее время |
| Совместная работа | A, p, t | сумма работ = 1 (вся работа) |
| Смеси и сплавы | масса раствора, доля, масса вещества | сумма масс вещества до = после |
| Проценты, вклады | начальная сумма, множитель, итог | итоговое равенство |
Всю работу удобно принимать за 1, тогда производительность равна 1/t. Если два рабочих делают работу за 6 и 12 часов, совместная производительность 1/6 + 1/12 = 1/4, значит вместе за 4 часа.
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 30 км, выехал велосипедист. Через час навстречу ему из B выехал второй, скорость которого на 5 км/ч больше. Они встретились на середине пути. Найдите скорость первого. Пусть скорость первого x км/ч, второго x + 5. Каждый проехал 15 км. Время первого 15/x, время второго 15/(x + 5). Первый ехал на час дольше: 15/x − 15/(x + 5) = 1. Приводим: 15(x + 5) − 15x = x(x + 5); 75 = x² + 5x; x² + 5x − 75 = 0. D = 25 + 300 = 325, √325 = 5√13 ≈ 18,03. Корни некрасивы — значит в реальном варианте числа подобраны иначе; в оформлении важна структура. Схема ответа: 1) введена переменная с указанием единиц; 2) составлено уравнение с пояснением, откуда оно; 3) решено; 4) отброшен отрицательный корень с фразой «скорость положительна»; 5) записан ответ с единицами измерения.
1) Средняя скорость посчитана как полусумма скоростей — верно только при равенстве времён, а не путей. Правильно: vср = (s₁ + s₂)/(t₁ + t₂). 2) Не отброшен отрицательный или нулевой корень: балл снимают за отсутствие обоснования отбора. 3) Забыты единицы измерения в ответе — критерий требует ответа на вопрос задачи. 4) Переменная введена, но не сказано, что она означает. 5) В задачах на проценты базой берут не ту величину: «на сколько процентов дешевле» считают от большей цены.
- ✓Пишу «Пусть x — …, x > 0» с единицами измерения
- ✓Составляю таблицу перед уравнением
- ✓Обосновываю отбрасывание постороннего корня
- ✓Проверяю ответ на здравый смысл: скорость велосипедиста не 200 км/ч
- ✓Заканчиваю решение фразой «Ответ: …» с единицами